作者：顾雪梅 林梅   转载自“墨子沙龙”

我们熟悉的最简单的自然数（来自网络）

量子力学建立之初，薛定谔将虚数  引入方程，用来描述微观粒子的奇特行为。但是，复数究竟是一种数学技巧，还是客观实在，一直没有答案。如果我们不用复数，而只用实数来描述量子世界，是可行的吗？复数在量子力学里，是非用不可的吗？

数学，几乎伴随着我们每个人的认知。在我们很小的时候，家长很可能会用一个个苹果、一根根手指，来教会我们计数；后来，数字的范围不断扩展，当初通过几个苹果、几根手指建立起来的对数字的理解，已经不能涵盖人们遇到的所有场景了。几千年前，出于生产生活的需要，我们不仅需要表示“盈余”，还要表示“亏空”，所以，人类跨域了正数和零的概念，负数产生了；同样是在几千年前，当我们需要描述把单位“1”分成若干份的时候，分数就产生了。分数可以化作有限小数或无限循环小数。还有一些数“不讲道理”，它化作的小数既不终止，也不重复，而是无限不循环的，我们管它叫无理数。我们比较熟悉的无理数有圆周率、还有边长为1的正方形对角线长度  。可以看到，哪怕是最“不讲道理”的无理数，在圆形、正方形这样的日常生活场景中也能找到它们的身影。只要你承认圆形、正方形存在，就得承认无理数的存在。

图片来自维基百科

数字的应用在生活中太重要了，世界上各个文明哪怕相隔万里，都不约而同地在数字上产生过灿烂的文化和悠久的历史。

但无论如何，上面提到的这几类数字不管多抽象，总还可以在现实中找到对应的意义。直到，你遇到了——复数。

复数由实部和虚部组成，其中虚部那个令人困惑的  ，尽管你知道它代表了-1的平方根，但是它究竟有什么意义、对应现实世界的什么场景，可能大部分人都说不上来。

这个问题，连伟大的数学家也感到过困惑。

16世纪，意大利数学家吉罗拉莫·卡尔达诺曾经在他的一本名叫《大术》的著作中，为了讨论“把10分成两部分，使它们的乘积为40”的问题，引入了将负数取平方根的方法，他把两个数分别写成（  ）和（  ），解决了这个问题。当时，他也只是认为这是一种方便计算的数学技巧，还没有意识到自己触摸到了复数宫殿的大门。后来，笛卡尔将负数取平方根的表达命名为虚数。这个虚数，好像一个似有若无的幽灵，当时的数学家难以洞悉它的秘密，经过二百多年很多数学家们的前赴后继，复数理论才建立起来。它的重要性令人惊叹，难怪法国数学家阿达马说：“在实数域中，连接两个真理的最短路径是通过复数域。”

复数理论在数学界的地位日渐上升，在物理学和其他工程技术上也都是十分重要的工具。我们计算电流、处理信号，都离不开复数这个工具。但是，也仅仅是工具而已。什么意思呢？就是，有了它我们可以更方便地处理问题，没有它，也可以搞定，只不过麻烦一些。毕竟，最终我们计算出来的电流总应该是个实数。

但是，有一天，这种确定性到量子力学这儿开始动摇了。像16世纪的数学家一样，对于虚数的困惑也浮现在物理学家心里。

1926年，物理学家薛定谔在建立波动方程的时候，最初参照波动光学的模型，写下了机械粒子的微分方程，但这个方程没有任何物理上的意义，然而当他将负1的平方根  放入到方程里时，复数形式的波函数瞬间变得有意义了，能够帮助我们准确描述粒子的量子行为。而波函数这种看不见摸不着的抽象概念，不管是薛定谔本人，还是其他物理学家，谁都说不清它的本质到底是什么。

但对于我们而言，物理研究的是现实世界，而现实世界你能想象到的一切物理量应该是可测量的，而可测量的量里面怎么会有虚数呢？我们知道，波函数的模方描述的是粒子出现的概率，所以，虽然波函数写成复数形式，但是概率本身还是实数。那么，虚数  真的是描述真实世界所必需的吗？薛定谔也不确定。在他给洛伦兹的信中，他似乎倾向于虚数  只是一种数学上的处理方法，而现实中的可测物理量都应该是实数形式的。当时，他在信中就表示过，波函数引入复数，自己是不太踏实的，本质上量子波函数应该是一个实函数。薛定谔一直试图把复数从他的波动方程中抹去，但是并没有成功。

在量子力学中，复数是必要的吗(图片来自Quanta Magazine)

那么，复数的波函数和真实的量子世界是什么关系？复数到底在里面扮演何种角色呢？

要回答这个问题，我们可以回头看看无理数的诞生。两千多年前，无理数的诞生是为了描述边长为1的正方形的对角线长度，只要你承认正方形的存在，就得承认无理数是客观存在的，否则，对角线长度用什么来表示呢？可见，无理数并非是“没道理的”。那么虚（复）数呢，它真的是虚的吗，还是具有客观实在性？

现在的复数之于量子世界与当初的无理数是类似的道理。

一般而言，每一个波函数对应着一种物理状态的分布。此外，我们认为独立构建的体系具有独立的物理状态，那么很自然地，由这些独立系统构成的总的物理状态可以直接用它们的张量积形式来表示，这有点类似于在数学里我们把两个或者以上的数进行相乘来得到一个总的结果。

当两个波函数分别由完全相同、互相独立的两个系统制备时，研究证明它们对应的分布没有重叠，也就是说一个物理状态只能够被编码到唯一的波函数当中，这也就意味着波函数是客观真实存在的[1]。而如果我们可以证明，量子力学（波函数）必须使用复数，那么复数就是客观实在的。

所以，现在的问题归结到了：量子力学真的必须使用复数吗？换句话说，如果不用复数，除了过程麻烦点儿，计算结果会不同吗？

在经典世界里，我们知道复数一般可以写成  ，那么理论上，我们总可以用a和b这两个实数来替代，只不过，一个复数变成两个实数，处理起来麻烦一些。而对于量子世界，很多科学家也在不断尝试用各种不引入复数的方法来描述量子力学。

我们知道，量子力学具有独特的数学结构，其中不同的物理系统状态用不同的希尔伯特空间来描述，位置或者动量等可观测量则用作用于系统的希尔伯特空间的线性算子表示。从量子力学的早期开始，科学家们就认为复数框架下的量子理论的许多特征被两个替代的假设理论所表示，比如复数的希尔伯特空间可以被一个实数或四元数的希尔伯特空间所取代。这在1936年伯克霍夫和冯·诺依曼提出量子逻辑假设时就被明确指出，量子态的希尔伯特空间的闭子空间可以构造一种类似布尔逻辑的代数语义，基于此，实数和四元数的模型与标准的复数理论一样可以满足他们的假设。 

另一方面，在1960年，瑞士物理学家厄恩斯特·斯蒂克尔堡为了将标准复量子理论实数化，引入了特殊的算子，并要求可观测的量与引入的算子对易，这类似于数学中的交换律。由于对可观测量的这种限制，他的特殊算子扮演着虚数  的角色，规则虽然麻烦点，但最终结果在实数框架下没有任何影响。虽然当时他只是证明了所有单粒子实验的量子理论预测都可以在只用实数的情况下推导出来，但他的这种规则可以进一步扩展应用到多粒子体系。

还有一些研究表示，在量子世界里，在不使用复数的情况下，通过引入可以与系统中的任何东西进行相互作用的通用量子比特，把状态和测量空间维度扩大一倍，就像经典物理里，用a和b两个数代替一个复数一样，我们依然可以完美预测著名的量子物理实验——贝尔实验。（贝尔实验是一个检验量子力学基础理论的重要实验，它探究的是关于纠缠的根本性质。它将纠缠粒子分别发送给Alice和Bob，就像分别、同时、背靠背地拷问一对双胞胎一系列问题，根据它们的回答，来看看双胞胎之间的心有灵犀，究竟是真的跨越时空的纠缠，还是有谁偷偷传递了消息。）（未完待续）