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物理学中的边界条件

时间:2020-05-07 21:18:00  阅读:368

撰文 | 王向斌



物理学中的边界条件——这个题目有点大,实际上只是从一个容易理解的角度出发,给中学生们做点科普,以简单的定量方式了解为什么原子能级是分立的。



物理学基本规律就那么几个,为什么会有如此纷繁复杂的世界?一个物理系统的物理的后果并不仅仅取决于物理规律,还取决于其自身的受限条件,例如初始条件,边界条件等。我们先看一组简单的问题:

 

1,树上有九只鸟,一枪打死一只,还剩几只?

答:0只。(注意:不是8只)

 

2,地上有九只鸟,一枪打死一只,还剩几只?

答:1只。(注意:不是0只)

 

3,笼子里有九只鸟,一枪打死一只,还剩几只?

答:9只。(注意:不是0只,也不是1只)


初始时同样是九只鸟,你做了同样的事情:一枪打死一只, 为什么结果却不一样呢? 因为受限条件不一样啊。第1个题的鸟们处于全开放的空间,第2题处于半开放空间,而第3个题是全封闭空间。其实这里是不同的受限条件导致了不同的物理结果


 


我们不愿意只做这么肤浅的了解,要有定量化的应用:我们现在开始以定量的方式应用边界条件。考虑光在两个理想的平行镜面间来回反射。两个镜面间距离为L. 看似简单的几何光学题,其实不然。如果能量不损耗,那光一定不能透过镜面。这就要求,光场在两个镜面位置处为0. 这就是我们的边界条件 !而且可以写出量化的形势:假定光的波函数为正弦函数

E=sin k x


在 x=0 和 x=L处此函数值必须是0, 这是边界条件要求。 这样,k不能取任意值, k值必须满足条件 k = n π/L, n 是正整数。这个k本质上就是频率啊!两个镜面内的光,其频率不能是任意值,必须要满足上述条件,即只能取分立值。那个条件实际上就是量子化条件。如果两个镜子间就一个光子,这个光子的频率只能取分立值,那能量也只能取分立值的(用爱因斯坦的光子能量公式)

 

如果是两个坚壁之间放一个电子呢?电子也是波,德布罗意波。既然是坚壁,电子不能透过坚壁,因此在坚壁处波函数得为0。用这个边界条件,继续下去,我们会发现坚壁之间的电子,其德布罗意波波长也只能取分立值。考虑德布罗意波波长与动量关系,这就意味着电子动量大小也只能取分立值,由于势能为0,因此坚壁间的电子的能量(动能),即动量的平方除以2倍质量,只能取分立值。既然电子在这种情况下能级是分立的,当然也有理由相信电子在其他情况下,例如原子中的电子能级也可以分立。

 

坚壁间的电子能级分立,其表达式究竟是什么? 你从正弦函数出发按边界条件要求和德布罗意波的波长动量关系自己写一下吧。我们以后给答案。结束之前,你可能要问,究竟是什么,导致了电子能级分立?你可以认为:最主要是因为电子是波这个基本属性,使得它能跟光一样,使用边界条件。电子是波这点并不表示电子的能级一定分立,那得看受限条件。在不同条件下,能级可以分立或连续,还可以呈能带分布:带内能级连续,带与带之间可以有间隙,这是固体中的电子的基本特征。


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